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高中数学新大纲新教材

时间:2016-12-22 16:43:25  来源:网络  作者:wsg
高中数学新大纲新教材 一.全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)修订说明 《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》是在原国家教委1996年颁发的《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》的基础上修订的。自1996年6月至2000年1月教育部基础教育司先后召开四次大纲修订工作会议,邀请部分专家在认真调查研究,广泛听取意见的基础上进行了修订。此次修订大纲是为了进一步贯彻落实第三次全国教育工作会议的精神,加快高中课程改革的步伐,按照《全日制普通高级中学课程计划(试验修订稿)》的要求而修订的。   修订的指导思想是"理念要新,操作要稳"。理念要新主要是指要体现三个面向和全教会议的精神,要体现时代特色,要体现高中课程改革的发展趋势。操作要稳是指在原来《数学教学大纲(供试验用)》总体结构不作大的改动的基础上修订,既要体现改革精神,又不能搞大起大落。在修订过程中认真地研究了天津、山西、江西两省一市自1997年秋试验以来的反馈意见,充分地听取了方方面面专家和学者的改革建议,同时考虑到已编出的教材不宜作大的变动。 这次修订的重点是加强对学生创新能力和实践能力的培养,同时对教学内容作了部分删减、调整和降低要求。现就修订情况简要说明如下:   (一) 落实实践能力和创新意识的培养   1.加强实践能力的培养。本次修订将"解决实际问题的能力"作为教学目的之一纳入大纲。它是以思维能力、运算能力、空间想象能力等三个基本能力作为前提和基础,要求"会提出、分析和解决带有实际意义或在相关学科、生产和生活中的数学问题;会用数学的语言表达问题,进行交流。"   为了加强解决实际问题的能力的培养,本大纲将实习作业从原有的三个增加到四个,并且在教学目标中,提出对各个实习作业的教学要求。在教学中,强调要培养用数学的意识,即一方面应使学生通过背景材料,进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理,得出数学概念和规律;另一方面使学生能够运用所学知识,将实际问题抽象成数学问题,建立数学模型,并加以解决。要引导学生接触自然,了解社会,鼓励学生参加形式多样的实践活动。   2.加强创新意识的培养。本大纲将"形成创新意识"写进了教学目的,放在四个能力之后,对创新意识的培养是贯穿于知识教学、能力培养的全过程中,同时又是逐渐形成的,不宜要求过高、操之过急。创新意识主要是指:对自然界和社会中的数学现象具有好奇心,有追求新知识的欲望,能够独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,并加以探索和研究。   为了加强创新意识的培养,本大纲增设了"研究性课题",要求每个学期至少安排一个研究性课题,平均每个课题安排3个课时的教学时间。研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨,或者从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究,在研究过程中要以学生的自主性、探索性学习为基础,倡导从学生生活实际、生产实际自拟研究性课题。在研究性学习中,教师是组织者、参与者和指导者,注意培养学生的科学精神和科学态度。   在教学中要激发学生学习数学的好奇心、求知欲,要启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考和钻研问题,鼓励学生创造性地解决问题。 3.树立以学生发展为本的教育观念。教学中要改革教学方法和教学手段,通过介绍数学史实,开展数学活动和日常教学,激发学生学习数学的兴趣,培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和创新意识,在测试和评估中要注意评估学生创新意识和能力的发展情况。   (二)对教学内容和教学要求作了修改   1.删去了较为陈旧的或学生学习困难较大的内容。   必修课部分删去了如下内容:   命题、数学归纳法与数学归纳法应用举例(移到选修II中)、直线方程的参数式、曲线的交点、利用平移化简圆锥曲线方程。   选修I中(即原大纲限定选修课供文科、实科选用部分)删去了"瞬时速度"以及复数单元的全部内容。   选修II中(即原大纲限定选修课供理科选用部分)删去了如下内容:   连续型随机变量的概率密度、两个重要的极限、导数的定义、二阶导数、二阶导数的物理意义、直接积分法、第一类变量代换法、极坐标、极坐标系中的平面图形的面积。   2.调整了部分教学内容,适当降低学习难度,重视了数学文化价值的教学。   如极限中只讲描述性的定义,删去了"数列极限中了解的定义",并将"数列极限的四则运算"与"函数极限的四则运算"合并成"极限的四则运算",只要求利用法则会求某些极限;将"随机变量的期望值和方差"改为"离散型随机变量的期望值和方差",将"用样本方差估计总体方差、用频率分布估计总体分布、累积频率分布"等改换为"总体的估计、正态分布、线性回归",既减轻了学习难度,又突出了重点,也加强了应用;在微积分中增加了"微积分学建立的时代背景和历史意义",以引起学生对数学文化价值的重视。   3.适当降低了教学要求。   如"直线、平面、简单几何体"这一部分,经修改后教学要求大大降低,有7处"掌握"级要求降为"了解"级要求,特别是论证方面,删去了"利用有关概念进行论证和解决有关的问题"的要求;将"三垂线定理及其逆定理"由"掌握"级降为"了解"级要求,淡化了几何论证的要求。又如"四种命题、函数的奇偶性和单调性的概念"的教学要求都有所降低,对椭圆、双曲线、抛物线的"几何性质"都改为"简单几何性质",教学要求也作了相应的处理。   4.教学时间更具有弹性。   时间变更如下表 课程计划安排课时原大纲安排课时修订后安排课时研究性课题安排课时机动课时 必修课 280 252 242 10 28 选修I 52 42 32 3 17 选修II 104 84 72 6 26   上述安排,使研究性课题的教学时间得到了保证。必修课有10%教学机动时间,由教师灵活掌握安排。高中三年级选修I教学内容为32课时,按每周2课时安排,16周结束课程,再安排3课时"研究性课题"教学,那么还有17课时(即8周半)作为教学机动时间;选修II教学内容为72课时,按每周4课时安排,18周结束课程,再安排6课时"研究性课题"教学,那么还有26课时(即6周半)作为教学机动时间;《课程计划(试验修订稿)》规定"高中三年级复习考试12周",连同上述教学机动时间,还是有充裕的时间,将高中阶段所学的教学内容,进行归纳、整理,作系统地复习的。   二.新高中教材《数学》(试验修订本)介绍   这套供试验用的普通高级中学教科书《数学》,是根据原国家教委1996年颁发的《全日制普通高级中学课程计划(试验)》(它在1999年进行了修订,以下简称《课程计划》)和《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》(它在1999年11月进行了修订,以下简称《新大纲》)编写的。全套书共三册。其中第一册和第二册是必修课本,分别供高中一年级和高中二年级必修课使用;第三册是选修课本,它分为两个分册,供高中三年级选修课使用,分别相当于《新大纲》中的"选修课•水平Ⅰ"和"选修课•水平Ⅱ"。自1997年秋季开始逐年供书,1999年秋季供齐。与这套教科书相配套的教师教学用书也同步供书。从2000年初起,这套教材将根据修订后的大纲进行修订。现将教材修订本的情况介绍如下:   (一)编写的指导思想 新编高中数学教材遵循"教育要面向现代化、面向世界、面向未来"的战略思想,全面贯彻党和国家的教育方针,按照高中《课程计划》中提出的"贯彻教育必须为社会主义现代化建议服务,必须与生产劳动相结合,培养德、智、体、美等方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人的方针,以全面推进素质教育为宗旨,全面提高普通高中教育质量",处理好社会需要、学科发展,以及高中学生的学习特点与认识规律等关系,既要有统一的基本要求,又要能适应不同学生需要,为培养社会主义现代化建设需要的各级各类人才打好基础,使全体学生在高中阶段受到良好的数学教育,全面提高学生素质。为此,我们在新教材的编写中着重注意了以下几点。 1.认真贯彻落实《课程计划》和《新大纲》的精神,新教材要面向大多数学校和学生,着眼于全面提高学生的素质   面向全体学生就是要对每一个学生负责,既要为所有的学生打好共同的基础,也要注意发展学生的个性和特长,因材施教。教材内容的选择要有利于提高学生的文化科学素养,有利于学好最必要的基础知识,有利于能力的培养。教材的份量和要求要面向大多数学校和学生,处理好需要与可能、提高质量与减轻负担的关系,要从素质教育的目标出发,确定和编排好教材内容。   2.新教材要积极稳妥地推进数学课程的改革   我国中学的数学教材历来有编排上重视学科的科学性和系统性,文字上重视表达严谨、准确等优点,比较重视基础知识的讲授和基本技能的训练,近年来又比较重视对学生能力的培养。这些都是需要继承和发扬的。但是也应看到,我国的数学教材仍存在着诸如内容陈旧、知识面窄、结构单一、应用重视不够等缺点。对于这些缺点,在编写新教材时应当认真研究和改进。然而,教材改革是长期艰巨的任务,我们要采取积极的态度推进改革,同时又要步伐稳妥,改革要考虑到面向21世纪的社会需要,又要考虑到我国的教学实际。   3.新教材要促进学生积极主动地学习,在推动教育思想的转变和教学方法的改革上下工夫 我们以往编写的数学教材,对学生学习的规律研究得不够,缺少启发性和趣味性,不便于学习阅读。有的学生只把数学教科书当作习题书,或查找公式用,这种情况必须改变。新教材注意调动学生学习的积极性和主动性,研究学生的思维特点和学习规律,把学生作为学习的主体来编排内容。教材在内容的呈现上要注意联系实际,注意展示知识形成的过程,使学生在获取知识和运用知识的过程中,发展思维能力,提高思维品质,加深对所学知识的理解。   (二)新教材的主要特点   1. 精简、更新教材内容,改革传统的教学方法   《新大纲》在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下,删减了传统的初等数学中次要的、用处不大的,而且对学生接受起来有一定困难的内容。与此同时,增加了一些为了进一步学习打基础的,有着广泛应用的,而且又是学生能够接受的新知识。这次删减的内容主要有代数中的幂函数、指数方程、对数方程、一些三角恒等变形的公式、反三角函数、三角方程,立体几何中的棱台、圆台等。增加的内容主要有简易逻辑、平面向量、空间向量、概率统计、微积分初步知识等。   新编数学教科书是严格按照《新大纲》中这些精简、更新的规定编写的。例如原来高中数学教材中三角函数及其相关的内容共有三章,即"三角函数" "两角和与差的三角函数""反三角函数和简单三角方程",合并为"三角函数"一章,由原来的72课时压缩为36课时(不包括正弦定理、余弦定理和解斜三角形举例)。因此,新编的"三角函数"一章中,从内容到讲法,以及部分定理的证明,繁难的恒等变形、偏怪的例习题等,都大大地进行了删减。这样处理,一方面是为了保证三角函数的主要内容能够掌握好,同时也是为了更新知识,使得更有用的新内容能够进入中学数学课程里。   新编数学教科书更新了传统内容的讲法和部分数学语言。例如,比较广泛地使用集合语言、逻辑联结词、国家标准计量符号。使用向量处理某些传统内容,利用向量证明余弦定理等,既简捷又容易接受。按照《新大纲》的9(B)方案,新教材中利用空间向量讲性质定理,某些直线与平面、平面与平面的位置关系问题,颇具特色,从而使教材具有新意。   新编数学教科书还注意引导教师更新教学手段。由于科学计算器已列为初中首选的计算工具,这就为高中用科学计算器处理复杂计算问题作好了过渡。新编教科书从计算指数幂开始,就比较广泛地要求使用科学计算器。另外,有条件的学校可以利用计算机和多媒体技术作为数学的辅助教学手段。例如,用计算机和多媒体技术演示几何图形运动变化规律,三角函数曲线周期变化规律等,既直观明了,又能反映变化的过程,对深刻理解数学基础知识都十分有好处。   2. 重视处理好统一性和灵活性的关系,使新教材具有层次性 《新大纲》规定以必修课为主,实行必修课、选修课相结合的课程结构模式,为处理教材的灵活性提供了依据。新的高中数学教材为了处理好必修课与选修课的关系,既要注意培养全体高中生数学素养的需要,也要注意不同爱好和特长的特殊需要,既要注意必修课知识体系的完整,也要考虑到必修课时有限、学生的接受能力不尽相同,知识处理上不宜要求过高,不必过分追求体系完整、深化。选修课是在共同的必修课基础上,针对学生不同需要、不同去向而分出的不同层次的课程,要注意与必修课的衔接和配合,又要有所区别。例如在必修课中,函数对所有学生来说内容相同,要求也没有差别,而在选修课中,水平Ⅰ与水平Ⅱ对函数的应用函数变化率的内容和要求就大不相同。水平Ⅱ侧重讲微积分的基本概念、基本方法和初步应用,而水平Ⅰ则侧重基本思想和简单应用。又如在必修课中概率初步知识是共同的基础,在选修课中,水平Ⅱ在原有概率知识的基础上,要拓宽到离散型随机变量的分布列、期望值、方差,而水平Ⅰ只学习侧重应用的统计初步知识包括抽样方法,总体分布的估计,正态分布,总体特征数的估计和线性回归等。这些知识相对就业或升学也是打基础,在理论要求上,在联系实际的选材上也要有一定的限度,在内容安排上不宜过满,注意留有余地,供教师教学上能灵活处理,供学生学习时自由选择。   在教材的编写上增加了灵活性,以适应不同层次学生的不同需要,每章均安排了一至两个阅读材料,供学生课外阅读。内容涉及知识的延伸拓宽、知识的应用、数学发展的一些故事等。习题里有带*号的题目,作为基本要求的拓宽,供学生选用;复习参考题安排A、B两种题目,A组题是复习巩固本章使用,B组题是供学有余力的学生选用;小结与复习中安排有供教师教学选用的参考例题及学习要求等。   为了增加灵活性,高一、高二只安排了约占总授课时间90%的教学内容,高三水平Ⅰ、Ⅱ分别安排不超过总授课时间(不包括复习考试)40%、75%的教学内容,教师可以利用剩余教学时间作为机动,灵活安排。   3. 把多项数学内容综合编写为一门数学,有利于沟通知识的内在联系   依据《新大纲》规定,将精选出来的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识综合为一门数学课,不再分代数、立体几何、平面解析几何和微积分初步等几门开设。   综合为一门数学课有如下三方面好处:一是有利于精简教学内容,减少不必要的重复;二是有利于加强各部分知识间的相互联系;三是有利于数学思想方法的相互渗透。   4. 强调理论联系实际,注意培养用数学的意识   重视数学知识的应用,是近年来数学教改的一个热点,也是《新大纲》强调的重点之一,新编教材在加强用数学的意识方面也作了改进。理论联系实际是编写教材的重要原则之一。而联系实际的目的就是为了更好地掌握基础知识,增加用数学的意识,培养分析问题和解决问题的能力。新编教材把培养学生用数学的意识贯穿在教材编写的始终,教材的正文一般都注意从实际引入概念,从实际提出问题,例题,习题中多增加一些联系实际的内容。例如数列中联系经济生活中的储蓄,函数中联系增长率的变化,直线和圆的方程中增加线性规划初步知识,圆锥曲线中联系行星、卫星运行轨道等等。概率本身就是与实际问题联系非常密切的内容。在各章的章头图或阅读材料中,也注意提供有实际背景的问题。教材中还注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去,引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。新编教材还注意使用数学语言表达问题,进行交流,形成用数学的意识。例如,讲线面关系时,注意用语言符号、图形来表达问题等。   按照《新大纲》,新教材增加了四个"实习作业",目的是应用所学数学知识,提高解决实际问题的能力,使学生在参与数学活动过程中受到训练和提高。此外,还增设了"探究性课题",要求每学期至少安排一个课题进行研究,平均每个课题给3课时教学时间。   5. 结合数学教材内容,加强思想品德教育   《新大纲》明确提出,结合数学教学内容和学生的实际对学生进行思想品德教育,是数学教学的一项重要任务。其中主要包含用辩证唯物主义的观点阐述教学内容,从而使学生受到唯物主义观点的教育;通过介绍我国古今的数学成就和数学在社会主义建设中的作用,使学生逐步明确要为国家富强、人民富裕而努力学习;结合教学和严格要求,培养学生良好的个性品质(包括学习目的、学习兴趣、学习毅力、学习信心、科学态度、探索创新的精神等)。   新编教材十分重视落实《新大纲》的精神,结合教材内容加强思想品质方面的教育。例如,结合函数概念的教学,突出实践理论实践等观点;结合直线、圆锥曲线方程的内容,突出运动变化,相互转化等观点;很多内容注意反映社会主义市场经济和我国社会主义建设的伟大成就,从而激发学生的民簇自豪感和爱国主义思想。   6. 重视教材的整体性,注意与初中数学的衔接和与相关学科的配合   首先要考虑数学内容各部分知识的逻辑性和系统性,由浅入深,由易到难,由简单到复杂,按照逻辑系统和认知理论相结合的思想安排教材体系,整套书是这样,各章各节也是这样。   其次要考虑与相关学科学习的配合,横向方面要与物理、化学、计算机等学科配合。物理、化学可以为数学学习提供背景、模型、数据等,而数学又可作为有关学科的学习工具,为其他学科学习提供准备。科学计算器已列入初中教学内容,有少数学校也将计算机课作为高中的选修课,在安排上要充分考虑与科学计算器的使用、计算机的学习内容相配合。 高中教育作为基础教育的一个阶段,既是义务教育后的继续教育,又是与高等学校或社会生产生活实际相连接的结合处。所以还要考虑各个学段的相互衔接,在纵向既要搞好与义务教育初中数学教学大纲相衔接,又要考虑与大学继续学习相衔接。   (三)教学内容和安排   1. 必修课教学内容 数学必修课的教学内容共11项,其中第9项又分(A)、(B)两种方案,分别在高一、高二学习,每周4课时,除了复习考试时间外,总授课时数为280课时。   数学必修课的11项内容主要是代数、几何(包括立体几何和平面解析几何)和概率初步知识三部分,考虑到学科知识的系统性和学生的认知水平,将这三部分内容大致按照代数、几何和概率初步的顺序相对集中安排。集合与简易逻辑作为中学数学的基础和数学语言,安排在全套教材的首章。接下来第一部分是代数的内容,包括函数、数列、三角函数三章。因为数列可以看成以正整数为自变量的函数的值的排列,与函数关系密切,内容又比较简单,所以将数列由原来在高中二年级学习提前到高中一年级。第二部分是几何的内容,包括直线和圆的方程,圆锥曲线方程,直线、平面和简单几何体三章,因为立体几何较平面解析几何难学,近年来反映立体几何教学效果不好,学生反映立体几何难学,所以本着先易后难,先平面后空间的顺序,先学习平面解析几何的两项内容,然后再学习空间图形部分。平面向量是属于几何的内容,它是连接代数与几何的结合点,为了便于应用,将这一项安排在代数与几何中间。第三部分为概率的内容,包括排列与组合、概率。排列、组合及二项式定理的内容可以作为概率的预备知识,与概率合并为一章。这样一方面可以控制和适当降低排列、组合内容的难度,同时又能更好地结合概率内容的学习。不等式包括不等式的概念、基本性质以及不等式的证明和解法,因为义务教育初中数学没有学习一元二次不等式的解法,这样将不等式中的一元二次不等式移到集合之后学习,一方面学完集合可直接用来巩固集合的表示方法,另一方面又可作为求函数定义域等内容的预备知识。而不等式的性质和证明的内容,抽象思维和逻辑推理要求较高,是初等数学的难点,因此安排在数学第二册开始,作为高二学习内容。数学必修课本编成两册,共10章,每册5章,目录及课时安排如下:   数学 第一册(供一年级使用)   1. 集合与简易逻辑(约22课时)   2. 函数(约30课时)   3. 数列(约12课时)   4. 三角函数(约36课时) 5. 平面向量(约22课时)   数学 第二册(供二年级使用) 6. 不等式(约16课时)   7. 直线和圆的方程(约22课时)   8. 圆锥曲线(约18课时)   9. 直线、平面和简单几何体(约36课时)   10. 排列、组合与概率(约30课时)   2. 选修课教学内容   数学选修内容,实际上是两部分:概率统计、微积分。复数是我国高中数学传统的教学内容,《新大纲》把它安排在选修课里,主要便于将两种水平区别开来,特别是在三角函数中反三角函数已经删减的情况下,复数就不能作统一要求,否则对选学水平Ⅱ的学生的要求就有些偏低。所以复数内容只安排给选学水平Ⅱ的学生学习。概率统计、微积分初步知识是原来教材中的任选内容,增加到选修课里,一方面更新了内容、扩大了基础,有效地改变了我国中学数学课的"内容陈旧、知识面窄"的现状;另一方面也部分地解决了"一刀切"的课程结构,能够使不同需要和不同水平的学生学习到不同的数学课程。   数学选修课本编成两个分册,目录及其课时安排如下:   数学 第三册(水平Ⅱ)   1. 概率与统计(约14课时)   2. 极限(约12课时)   3. 导数与微分(约16课时)   4. 积分(约14课时)   5. 复数(约16课时)   数学 第三册(水平Ⅰ)   1. 统计(约12课时)   2. 极限与导数(约20课时)    (四)教材与教学   新高中数学教材是根据《课程计划》、《新大纲》的精神,吸收了国内外教材改革的成果,继承了传统教材的优点而编写成的新教科书,虽然做得还很不够,但是编者尽量按这一指导思想进行。为此,对使用教科书进行教学提出如下几点建议:   1. 转变观念,提高对素质教育的认识   所谓转变观念,就是要由"应试教育"转向全面提高国民素质的轨道,要面向全体学生,促进全面发展,注意培养创新精神和实践能力。   当前中学数学教学也确实受到"应试教育"的影响,如存在着任意拔高教学要求,加宽知识内容,加大习题难度,提前结束课程等不良做法。这些都是不符合改革精神,学生负担过重的现状也不能得到改善和缓解。新编高中数学教材虽然精简、更新了部分内容,有些要求和习题难度也确有明显的降低,但如果不认真贯彻《新大纲》的改革精神,教学上可能还会出现使用新课本,但按过去的要求进行教学的现象,这势必不利于减轻学生过重的负担。因此,在使用新教科书时一定要改进教学方法,按《新大纲》的要求进行,控制教学要求,控制教学难度,确实从"应试教育"转变到贯彻素质教育的轨道上来。   2. 要充分利用先进的教学手段,提高教学效益   新的教学手段必然促进教学方法的改革,必然带来新的教学效益。科学计算器已被列入初中的教学内容,高中相应的计算内容已充分使用科学计算器讲授,教师在教学中更应充分利用科学计算器,以提高教学效益,提高学生解决问题的能力。有条件的地方或学校,也要利用电子计算机和多媒体技术作为教学的辅助手段。   3. 要重视应用的教学   重视应用,培养学生用数学的意识,是《新大纲》和新教材的一个特点。教材的选材中已经注意时代性、应用性。但是各地情况不相同,使用教材时要结合当地的实际,结合学生的实际。如实习作业内容的选择,应该结合本校的实际条件来组织,其目的主要是让学生参与教学活动,培养他们分析问题和解决问题的能力。 4. 要重视研究性课题   研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨,或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。要充分体现学生的自主活动和合作活动。研究性课题应以所学的数学知识为基础,并且密切结合生活和生产实际。新教材将按《新大纲》的要求编入以下课题,当然教学时也可以由师生自拟课题。要提倡教师和学生自已提出问题。   课题:数列在分期付款中的应用,向量在物理中的应用,线性规划的实际应用,多面体欧拉定理的发现(以上必修);杨辉三角,定积分在经济生活中的应用(以上选修)。   教学目标是:(1)学会提出问题和明确探究方向; (2)体验数学活动的过程; (3)培养创新精神和应用能力; (4)以研究报告或小论文等形式反映研究成果,学会交流。 三.高中教材《数学(试验修订本•必修)》第一册(上) 简介 《高中数学》第一册(上)与《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》所规定的教学内容直接衔接,供高中一年级的第一学期使用。这册书包括三章内容,约15万字,共需65课时。具体安排为 第一章 集合与简易逻辑…………………20课时 第二章 函数………………………………30课时 第三章 数列………………………5课时(含研究性课题3课时) 高中一年级开设数学课(必修课)每周4课时,这册书的教学内容约需16--17周完成。从1997年9月开始,这册书的试验本在天津、山西、江西进行试验。根据《大纲》,结合试验反馈信息,1999年--2000年对该书的试验本进行了修订,形成试验修订本。 A. 教材编写特点 本书的编写特点主要有以下几点: (一)承上启下,注重基础 本册书是初中数学教材的直接后继教材。因此,本册书的编写特别重视与初中数学教学的衔接。例如,在第一章中讲集合和简易逻辑时,所用的例子大多是学生在初中学过的内容,这便于学生在原有知识基础上,通过已知的具体例子来理解新知识。第一章中有关不等式的内容,是初中所学相关内容的继续,也是后面函数内容的预备知识。这种初、高中内容相结合的安排,符合螺旋式上升和由具体到抽象的认识规律。此外,初中数学的教学内容较具体,模仿性的练习较多,比较强调基本技能训练;高中数学的内容抽象性较强,比较强调对基本概念的理解基础上的再创造式的运用,对思维能力、运算能力、空间想象能力等的要求较高。学生对于高中数学的学习方法也需要一个适应过程,因此做好初、高中数学教学的过渡衔接不仅要考虑知识方面,而且要考虑如何调动学生积极思维,使他们尽快适应高中的学习内容和方法。为此,本册书在编写时注意了在如何逐步提高学生分析和解决问题的能力上下功夫,在叙述方式和例、习题的选编设计方面,力求符合学生的认知规律。 本册书在全套教科书中具有基础地位。这主要表现在下面几方面: 1.本册书的主要内容是整个高中数学教材体系的基础。例如,本册书的第一章"集合与简易逻辑"在整套教科书中的作用是至关重要的。集合是最基础的概念,数学中许多其他内容都与之相关,几何图形是点的集合,函数是数的集合间的映射,概率统计要涉及随机试验下可能出现结果的集合……简易逻辑中的四种命题的关系和充要条件,在数学各部分内容的讨论中随处可见。又如,本册书的第二章为"函数",函数可以将中学数学中的解析式、方程、不等式等诸多内容统一起来,组合数学和概率统计中函数的例子不胜枚举,微积分专门讨论函数变化率……因此,学好本册书会为整个高中数学学习打下良好的基础。 2.本册书的某些数学思想方法是高中数学中的重要思想方法。例如,利用化归思想将实际问题抽象为数学模型,从特殊对象归结出一般规律,分类讨论的方法,数形结合的方法等,不仅在本册书中,而且在后面其他各册书中都是常用重要思想方法。 3.本册书所用的关于集合等内容的符号表示法,是整个高中数学各部分内容都要使用的基本数学符号语言。新增的简易逻辑是学习概念、判断、推理必须遵循的基本规则。 对于本册书特殊的基础地位,编写时给予了充分重视。搞好基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养,是用好本册书的关键。 (二)联系实际,强调应用 本册书的编写,力求贯彻理论联系实际的原则,尽量从实际问题出发,结合实际例子讲述抽象内容,介绍数学知识的实际应用。例如,第二章中专门安排了"2.9函数的应用举例"一节,通过例题介绍了函数在下料问题、复利计算和大气压测量等方面的应用。修订版又增加了"2.10实习作业"一节,结合人口增长问题,安排了学生应用函数知识于实际问题的活动。在阅读材料中介绍了数学模型方法,并结合伽利略研究自由落体运动的历史典故,介绍了建立数学模型的一般步骤。第三章安排了建筑规划、测定长度等实际应用较广泛的习题;在阅读材料和研究性课题中安排了有关储蓄和分期付款的一些计算内容。本册书的习题也适当地增加了一定量的联系实际的题目,意在多创设些联系实际考虑问题的氛围和锻炼机会。对于这些联系实际的内容,编写时予以了充分重视,虽然它们与真正的实际问题还有一定距离,但是对于加强用数学的意识,为今后更广泛地使用数学创造条件,还是有重大作用的。培养学生应用数学理论解决实际问题的能力,需要一个循序渐进的过程,作为教材的内容与专门的数学建模讨论有所不同,因此教材中实际问题抽象为数学问题的训练难度不能过高,而是从联系实际的数学应用问题入手做起。教材安排联系实际的内容的目的,不仅是为了介绍抽象理论的实际背景,有利于抽象理论的学习,而更重要的是通过分析和解决这些问题,使学生用数学的意识和能力得到加强。 (三)渗透数学思想方法,突出培养思维能力 本册书在编写时考虑到数学教学不应仅仅是单纯的知识传授,而应在讲知识内容时注意对其中的数学思想方法加以提炼总结,使之能逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用。因此,各章的内容安排注意对数学思想方法的体现。本册书的知识内容中蕴含着许多基本的数学思想方法。例如,化归思想,分类方法,数形结合方法,通过否定问题反面而肯定问题正面的证明方法反证法。对数学思想方法的介绍,要注意符合学生的接受能力,对于高一学生来说,由于他们思维发展及所学知识的限制,我们认为以渗透方式和画龙点睛式的总结方式进行这方面的教学较为适宜。因此,本册书在具体处理方式上采用了这样的做法。例如,第三章中注意了渗透"数列与一类特殊函数相互联系"的观点,引导学生注意知识间的内在联系,从更高角度来认识数列的本质,使对数列的认识同化到已有的对函数的认识之中。 由本册书内容所决定,相对来说,本册书中培养思维能力的任务,要比培养运算能力和空间想象能力的任务更突出。为加强学生思维能力的培养训练,本册书安排了一些探索性和开放性较强的问题。对于这类问题,编写教材时重视了其思维训练价值,注意总结解决问题的通法。根据《大纲》关于"每学期至少安排一个研究性课题"的要求,修订版增加了"3.6研究性课题分期付款中的有关计算"一节,意在加强对学生的解决实际问题能力和创新意识的培养,这是教材编写中新的改革探索。 B. 内容安排 本册书作为《高中数学》的首册,在内容的选择和顺序安排方面突出的特点是基础性强,工具作用大。以下按照本册书的编排顺序分章简要介绍主要教学内容及对它们的总体认识。 第一章" 集合与简易逻辑"的教学内容主要有: 1.关于集合的最基本的概念、术语和符号,以及一些不等式的解法与相应解集的表示; 2.三种逻辑联结词,四种基本命题形式和充要条件。 集合论是近、现代数学的重要基础,逻辑推理在数学中有特殊的作用。简易逻辑是形式逻辑与数理逻辑中命题逻辑的基础知识。本章的逻辑部分安排了逻辑联结词等内容,并将四种命题及充要条件集中在一章讨论。将"集合与简易逻辑"作为高中数学的起始章,既是为了更好地发挥它们的基础工具作用,更便于数学语言的表达使用,使后继内容的学习更顺利;也是为了及早地使学生接触它们,增加使用它们的机会,更好地了解、理解和掌握相应的内容以及其中蕴含的数学思想方法。因此,这一章在高中数学中占有重要的基础地位,与后续各章都有密切的联系。 第二章" 函数"的教学内容主要有: 1.关于映射和函数的基本的概念、性质及函数应用举例; 2.指数概念的扩充,指数函数; 3.对数的概念,对数函数。 映射与函数是数学中极其重要的基本概念,从数学角度刻划事物的运动变化和相互联系离不开它们,数学中许多内容都建立在它们的基础之上。随着高中数学内容的不断更新,微积分等近代数学内容进入高中数学课程,映射和函数的作用范围更加广泛。高中数学将"函数"列为第二章,是为了更突出函数概念以及包含于其中的数学思想的地位,使之发挥更大的作用。映射观点下的函数一般概念抽象性较强,理解它需要一个"特殊 一般 特殊"的认识过程。在初三的数学课中,已学习了一次函数和二次函数等一些具体的函数,高一在此基础上学习函数的一般概念,再用它来认识更广泛的具体函数(例如指数函数,对数函数等),这样安排适时可行。为了突出重点知识及分析、解决问题的能力,与原高中《数学》(必修本)相比,本章减少了具体函数的介绍,未专讲幂函数,而对函数应用的强调程度有所提高。 第三章"数列"的教学内容主要有: 1. 关于数列的基本概念; 2. 等差数列和等比数列。 数列是以正整数为自变量的一种特殊函数 …}。学习函数后,接着学习数列是合适的。这样安排既有利于认识数列的本质,也有利于加深和巩固对函数概念的理解。按大纲规定数列部分的教学内容和教学目标在难度上有所控制,在高一学习它不会有太大困难。与原高中《数学》(必修本)相比,数列的安排明显提前,这是本册书的一个新变化。 上述三章内容互相联系,第一章的集合是原始概念,它直接关系到第二章映射与函数的概念;函数又是非常重要的基本概念,它与第三章的数列存在一般与特殊的关系。第一章中的不等式直接涉及第二章中函数定义域的计算;而简易逻辑的内容,与后面各章中命题的推理论证关系密切。因此,本册书注意整体体系安排,加强各章间的联系,并为后续内容做好铺垫。 C. 使用本册书时应注意的几个问题 本册书的编写力求贯彻《大纲》所规定高中数学的教学目的,体现全套书编写指导思想。结合本册书中三章具体内容的特点,提请大家注意以下几个问题。 (一)本册书在全套教科书中的基础地位 作为新编《高中数学》的第一册(上),本册书在全套教科书具有重要的基础地位。这在前面已经说过。 对于本册书特殊的基础地位应予以充分重视,搞好基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养,是用好本册书的关键。 (二)辩证唯物主义观点的培养及数学思想方法的介绍 "培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点",是高中数学的教学目的之一。本册书的数学内容许多处都充分体现辩证思想,例如:逻辑部分中四种命题间存在对立统一,否定之否定等关系;函数概念中蕴含着事物的运动变化,及事物间依一定规律相互联系的观点;数列与函数间有着特殊与一般的关系。这些内容都可以成为对学生进行辩证唯物主义教育的素材,应寓思想教育于数学教学之中,通过运用辩证法的观点、方法分析和解决具体问题,对学生进行潜移默化的熏陶。 前文已述,本册书的知识内容中蕴含着许多基本的数学思想方法。教学中应注意由浅入深,引导学生透过问题的表面理解问题的本质。解题时不应仅仅停留在对具体题目就题论题,而应像G•波利亚所说的那样在解题后注意"回顾反思",总结出思想方法上一些规律性的内容。对数学思想方法的介绍,要注意符合学生的接受能力,对于高一学生来说,由于他们思维发展及所学知识的限制,以渗透方式和画龙点睛式的总结方式进行这方面的教学较为适宜。 (三)数学思维能力的训练 在数学思维能力方面,高中生应比初中生有较大的发展。初中数学中推理证明主要在几何内容中进行训练,在代数内容中偏重于培养运算能力。本册书的内容按传统教材的划分主要属于代数部分,但其中涉及较多思维训练的内容,例如反证法、利用函数的有关概念和性质证明一些数学命题等。完成好这些内容的教学,有利于培养学生"会观察、比较、分析、综合、抽象和概括;会用归纳、演绎和类比进行推理;会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点;能运用数学概念、思想和方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质。 鉴于学生过去接触代数证明问题较少,而代数问题与几何问题相比抽象性一般更强些,所以有关这方面的推理论证训练应从简单问题入手,逐步提高,注意控制难度。反证法是较特殊的证明方法,教学中应将重点放在掌握证明过程的基本步骤,并能合乎逻辑地表述证明的基本过程上,注意避免片面地追求题目的难度,不要给学生过重的负担。总之,要把数学思维训练的目标定在一般学生经过努力可以达到的适当水平。 在本册书中,为加强学生思维能力的培养训练,安排了一些探索性和开放性较强的问题,需要采用"观察 -- 归纳 -- 猜想 -- 试探 -- 证明"的方式解决。对于这类问题应充分重视它们在思维训练方面的价值,注意引导学生总结解决这类问题的通法。 (四)数学语言的使用训练 高中数学教学对学生使用数学语言的要求比初中数学教学有明显的提高,即要求表达问题时语言更准确、更简练、更规范。符号化是数学语言的一个显著特征,随着教学内容的不断扩充和抽象性的加强,高中数学中要使用更多的符号和术语。例如,本册书的第一章的教学目标就包括了让学生掌握有关集合的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合问题。又如,第一章中的充要条件是数学各部分内容都要涉及的,对证明充要条件的正确表述应加强训练,这不仅有利于掌握充要条件的概念,而且有利于后面其他内容的学习。 本册书涉及反证法这种在证明过程的表达上具有特殊格式的证法。要让学生掌握这一证法的基本步骤,就必须注意训练如何叙述证明过程。初学这些证法时,往往既会遇到证明思路本身的难点,又会遇到语言表达的难点。为帮助学生克服难点,应注意控制问题的难度,从简单问题证明的叙述训练入手,而避免两种难点交织在一起。 对数学语言使用的训练应结合所学内容有的放矢地进行,教师应注意作好示范,并给学生较充分的练习机会。 (五)加强用数学的意识 加强学生用数学的意识,引导他们把数学知识应用到相关学科和社会生活、生产的实际中去,切实培养他们解决实际问题的能力,是使用本册书时应注意的。本册书的编写中力求贯彻理论联系实际的原则,尽量从实际问题出发,结合实际例子讲述抽象内容,介绍数学知识的实际应用。例如,第二章中专门安排了"函数的应用举例"一节和"实习作业",通过例题介绍了函数在几何问题、复利计算和大气压测量等方面的应用。在阅读材料中介绍了数学模型方法,并结合自由落体运动介绍了建立数学模型的一般步骤。第三章安排了分期付款等联系实际的例题,以及建筑规划、测定长度等实际应用味道较浓的习题。对于这些联系实际的内容,应予以充分重视,虽然它们与真正的实际问题还有一定距离,但是对于高中数学联系实际还是有重大作用的。培养学生应用数学理论解决实际问题的能力,需要一个循序渐进的过程,将实际问题抽象为数学问题的训练难度不能过高。安排联系实际的内容的目的,不仅是为了介绍如何从实际背景中抽象出数学模型,更重要的是通过分析和解决些问题,使学生用数学的意识和能力得到加强。 (六)做好初、高中数学教学的衔接过渡 作为新高中数学教科书中的第一本书,本册书是义务教育初中数学教材的直接后继教材。因此,本册书的教学中要特别重视与初中数学教学的衔接过渡。本册书中许多地方都涉及初、高中数学知识上的衔接过渡。例如,在第一章中讲集合和简易逻辑时,所用的例子大多是初中数学里学生比较熟悉的内容,这便于学生在原有知识的基础上,通过已知的具体例子来理解新知识。第一章中有关不等式的内容,是初中所学相关内容的继续,也是后面函数内容的预备知识。又如,第二章中函数的内容,是在初中所学函数的对应观点下的定义和一次函数、二次函数等具体函数类型基础上的提高。这种初、高中内容相结合的安排,符合螺旋式上升和由具体到抽象的认识规律。初、高中数学在教学方法上存在许多差别,初中数学的教学内容较具体,模仿性的练习较多,比较强调基本技能训练;高中数学的内容相对说来抽象性较强,比较强调在对基本概念理解的基础上创造地运用,对运算能力、思维能力、空间想象能力等的要求较高。学生对于高中数学的教学方法也需要一个适应过程,因此做好初、高中数学教学的过渡衔接不仅要考虑知识方面,而且要考虑如何调动学生积极思维,使他们尽快适应高中的教学方法。 四.高中教材《数学(试验修订本•必修)》第一册(下)简介 《全日制普通高级中学教科书(试验修订本•必修)数学》第一册(下)包括“三角函数”、“平面向量”两章,是供高一年级下学期使用的,每周4课时,本书两章教学 时间约需58课时,具体分配如下: 第四章 三角函数 ……………………约36课时 第五章 平面向量 ……………………约22课时 研究性课题……………………………  3课时  A.教学内容与教学要求 本册书先安排三角函数,再安排平面向量。三角函数一章的主要内容是任意角的三角函数,两角和与差的三角函数,三角函数的图象和性质。平面向量一章的主要内容是向量及其运算,解斜三角形。下面分章分析。 (一)与现行高中大纲及课本相比,三角函数内容的要求大大降低,这主要体现在:对于任意角的三角函数的定义,只要求掌握正弦、余弦、正切的定义,对于余切、正割、余割的定义则只要求了解;对于同角三角函数的基本关系式,只要求掌握;对于诱导公式,只要求掌握正弦与余弦的公式;对于两角和与两角差的三角函数公式,只要求掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式,对于三角函数的图象与性质,只对正弦、余弦、正切的图象与性质提出要求,对余切函数的图象与性质不作要求,反三角函数与三角方程是原大纲的选学内容(但却是理 工农医类高考的数学命题范围),现在只要求在已知三角函数求角时,会用arcsinx, arccosx, arctgx表示, 其他内容均未列入大纲与课本。 从上述知识对比可看出,新大纲与课本保留了、突出了三角函数知识的基础部分。例如,对于六种三角函数.因为余切、正割、余割分别与正切、余弦、正弦成倒数关系,且正弦、余弦、正切比较常用,所以应重点掌握正弦、余弦、正切的定义,知道余切、正割、余割的定义就可以了。再比如,同角三角函数的基本关系式原来有8个(倒数关系的有3个,商的关系的有2个,平方关系的有3个),但最基本的是保留下来的三个。 对三角函数内容的精简.其意义可以从以下几方面看。 1、适应了时代的发展,持别是新技术的发展,由于计算器、计算机的普及,三角函数值的计算,三角恒等式的变形就没有必要搞得过多、过难。 2、保留基本内容,仍可以达到培养能力的目的,要求适当,可以减轻学生的学习负担。 3、精简为增加平面向量等新内容提供了保证,使学生的学习内容新一点,知识面宽一点。 (二)与现行高中数学教学大纲和课本比,本册书根据新大纲的要求安排了“平面向量”一章,而平面向量的一些内容原来只在复数的有关内容中介绍,这是新旧大纲与课本在内容上的一个明显不同。 这部分内容的重要性,可以以下几方面来看。 1.平面向量及其运算具有实际意义,在物理中可以看到,一个力可以用一个向量表示,力的合成与分解可以用向量的加法与减法来计算,功实际上是位移与力的数量积。因此,平面向量及其运算是研究现实世界的一些问题的必备工具。 2.平面向量在高中数学教学内容中有广泛的应用,从本书可以看到,利用向量可以得到线段的定比分点公式,平移公式,可以证明正弦定理;余弦定理。在以后的内容中,我们还会看到向量在复数中的应用等等。由于应用向量可以将形的推证转化成数的运算,因而向量是解决许多数学问题的有力工具。 3.平面向量的概念与运算很容易推广到三维空间,乃至n维空间,是后续内容的基础。新大纲安排了利用空间向量作为工具处理传统的综合几何的改革方案。学好平面向量是这项改革的必备条件。 B. 本书的编写特点 (一)努力使新增内容易教易学 为了使“平面向量”内容易于学生学习,本书在编写时注意了以下几方面的问题。 1.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容。例如,在引言中用小船的位移引入向量的概念,使学生明确向量既有大小,又有方向,又如,一开始就介绍向量的几何表示----有向线段,并将几何表示贯穿向量运算的始终。再如,利用物理中功的概念引入数量积。 2.注意向量运算与数的运算的对比。学习向量运算与学习数的运算有类似之处:从学习顺序上看,都是先定义运算,再研究运算性质;从学习内容来看,向量运算具有与数的运算类似的良好性质。在编写时,既注意了向量运算与数的运算的联系,例如向量的减法类似于数的减法(定义向量a与向量b的差为向量a与向量b的相反向量的和),又指出向量运算与数的运算的区别,例如向量的数量积不满足结合律。通过对比,力图使学生便于理解新知识,又不至于与旧知识混淆。 3.对向量的应用要求适当。本书中除在正文中利用向量推导定比分点公式、平移公式,证明正弦定理、余弦定理以外,不要求学生独立地用向量证明平面几何题。 (二)三角函数的内容得到精简 在按照大纲编写三角函数时,注意了以下几方面的问题: 1.严格按大纲的内容与要求进行编写,减少的内容不再列入课本,要求降低的内容则以例题、习题的形式出现。同时,也充分注意了内容变化产生的影响,对相关内容作了相应处理。 2.在精简传统内容的同时,也注意了对保留下来的传统内容的新处理,例如余弦函数y=cosx的图象原来是利用余弦线画出的,现在则利用将余弦函数的图象看作由正弦函数y=sinx向左平移π/2个单位得到。这们处理使学生从“形”上加深 了对正弦函数、余弦函数的关系的认识,也避免了将余弦线“竖起来”的较为复杂的作图。 3.充分揭示知识的内在联系。本章三角公式较多,在介绍这些公式时,除了强调各自的特点及用途,还指出它们的相互联系与推导线索,做到条理清晰,便于记忆和运用。此外,在本章“小结与复习”中,还利用框图的形式展示了本章知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位,便于学生从整体上把握教学内容。 (三)努力建立合理的教材体系 本册书先安排三角函数,再安排平面向量,并把解斜三角形归入平面向量一章,安排在向量及其运算之后,这样的安排主要基于以下考虑。 1.本套书中数学第一册(上)的第二章函数中介绍了映射与函数,讨论了指数函数与对数函数的图象与性质。先安排三角函数的内容,可以更好地承接函数的内容。 2.先学三角函数,可以为学习平面向量作准备。学习平面向量的某些内容(向量的数量积),需要用到钝角的三角函数,先讲平面向量,就要局限于锐角三角函数的范围讲,或者插入钝角三角函数的介绍。这样安排不如先学三角函数,学了三角函数,钝角的三角函数的求值也就随之解决了。 3.将解斜三角形的内容安排在平面向量一章中向量及其运算的后面,是因为本册书中,为使学生了解向量的一些应用,正、余弦定理是用向量证明的。这样安排比较紧凑。 4.将平面向量安排在高一第二学期末,便于向量的内容在高二年级教科书有关章节中加以运用。 (四)注意知识的应用 1.注意知识的实际应用 大纲明确了解决实际问题能力的含义。学以致用可以更好地掌握基础知识,又可以提高学生解决实际问题的能力。 本书三角函数一章引言就提出了一个实际问题,以此引入三角函数的内容,并在学习了有关内容之后,解答了这个实际问题。 在解斜三角形部分,不仅安排了应用举例,还安排了实习作业。要利用这些内容,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,切实培养学生解决实际问题的能力。 本书的实习作业是高中阶段的第一个实习作业,编写时借鉴了义务教育初中数学教科书(人教版)中实习作业的编写经验,从以下几点出发进行考虑。 (1)实习作业紧密结合所在章的教学内容,其目的是巩固学生所学知识、技能,提高学生分析和解决简单的实际问题的能力、培养学生动手操作以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力,增强学生用数学的意识。 (2)实习作业安排学生日常生活中比较熟悉的问题,实习条件易于实现,实习内容以适合小组工作为主,使学生得以在实习中用数学语言互相交流,阐述自己的思想和观点。 (3)实习作业注意渗透思想品德教育,通过实习作业培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义的观点。 (4)实习作业的最后,要求写出实习报告,使学生能够把自己对于一个具体问题的认识完整化,并允许发现和列出其他尚待研究的问题。 根据上述想法,本书对照初中制做测倾角器和测量国旗旗杆高度的实习作业,安排了利用解斜三角形测量的实习作业,以期达到理论联系实际的目的。 2.加强学科间的横向联系 解决实际问题的能力包括提出、分析和解决在相关学科中的数学问题。另外,高中课程是一个整体,因此有必要加强学科间的横向联系。 在本书三角函数一章,指出了正弦曲线与物理中正弦电流的联系,安排了“同频率正弦电流相加,频率不变”的阅读材料,因此讲解正弦函数时,可以联系一些它在物理中的背景材料以及它在物理中的应用。 在本书平面向量一章,则更多地利用了物理的背景材料,例如利用位移力、速度、加速度引入向量的概念,利用功的概念引入向量的数量积等等。在这一章,还安排了研究性课题“向量在物理中的应用”。 总之,要加强相关学科的联系。一方面,利用相关学科的材料引出有关的数学概念和规律;另一方面,引导学生把数学知识应用到相关学科中。 C. 教材使用中应注意的几个问题 (一)注意与初中数学内容相衔接 在初中,学生学习了锐角三角函数,解直角三角形及其应用。在本书中,要学习任意角的三角函数,解斜三角形及其应用,由于高中内容是初中相应内容的推广,因而要注意它们的衔接。 例如,应指出用直角三角形有关边的比与用坐标定义锐角三角函数是一致的,而坐标定义对任意角三角函数都适用。这样,既承接了初中的内容.又引出了新内容。再如,把勾股定理看作已知两边及其夹角求第三边从而引出余弦定理,都能达到温故知新的效果。另外,由己知元素求未知元素是解直角三角形与解斜三角形的共同思想。 平面向量一章也要利用初、高中内容的联系(如向量运算与数的运算的对比),搞好初、高中内容的衔接。 (二)注意高中数学各部分内容的相互联系 新高中数学课程为了有利于精简教学内容,提高教学效益,有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用,将代数、几何等内容综合编排。在本书中,向量的引入,使高中数学各部分内容的联系加强了。例如,利用向量得到了定比分点坐标公式、平移公式以及正弦定理、余弦定理。 此外,高一上学期学习了函数的内容,学习三角函数的内容,要以函数的一般内容(定义域、值域、奇偶性、单调性等)为指导。这样做有助于学生对知识的理解。例如,角的概念的推广,弧度制的引入都是为了讲解三角函数的定义域作准备的。又如,正弦、余弦诱导公式的作用之一是得到关于三角函数奇偶性、周期性的结论。 总之,在教学中,注意知识的整体性,有助于学生将所学知识融汇贯通。需要指出的是,既要注意在旧知识的基础上发展新知识,还要注意新知识对旧知识的影响(如用新方法解决旧问题等等) (三)注意培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义观点 本书中数形结合的内容较多,如三角函数的图象和性质,平面向量用有向线段表示等等,要利用这些内容的特点,引发学生学习的兴趣。要通过循序渐进的教学,使学生掌握基础知识、基本技能,发展能力,同时使他们具有顽强的学习毅力,充分的学习信心,实事求是的科学态度,独立思考、勇于探索创造的精神。 本书内容蕴含了数学来源于实践又反过来作用于实践的观点.蕴含了对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。如由于实际的需要产生了三角函数,并使三角函数的理论丰富和发展,同时这些理论又用于解决实际问题。而三角函数的图象、平移等内容则生动地反映了运动变化、相互联系、相互转化的观点。教学中,要利用这些内容对学生进行辩证唯物主义观点的教育,使学生形成科学的世界观。 新课程数学大纲解读 一、高考数学科的考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩,按已确定的招生计划,德、智、体全面衡量,择优录取.因此,高考应具有较高的信度、效度,必要的区分度和适当的难度. 二、确定高考数学科考试内容的依据 文史类高考数学科考试内容的确定:根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》(教基[2003]6号)和《普通高中数学课程标准(实验)》(2003年4月第1版,人民教育出版社出版)的必修课程,选修课程系列1和系列4的内容. 其中必修课程是: 数学1,2,3,4,5. 包括: 1.集合; 2.函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数) ; 3.立体几何初步; 4.平面解析几何初步; 5.算法初步 ; 6.统计; 7.概率; 8.基本初等函数II(三角函数); 9.平面向量; 10.三角恒等变换; 11.解三角形; 12.数列; 13.不等式. 选修课程系列1的内容分两个模块:1-1和1-2.其中 模块1-1的内容包括: 1.常用逻辑用语; 2.圆锥曲线与方程; 3.导数及其应用. 模块1-2的内容包括: 1.统计案例; 2.推理与证明; 3.数系的扩充与复数的引入; 4.框图. 必考课程的内容包括20项: 1.集合; 2.函数概念与基本初等函数I; 3.立体几何初步; 4.平面解析几何初步; 5.算法初步; 6.统计; 7.概率; 8.基本初等函数II; 9.平面向量; 10.三角恒等变换; 11.解三角形; 12.数列; 13.不等式; 14.常用逻辑用语; 15.圆锥曲线与方程; 16.导数及其应用; 17.统计案例; 18.推理与证明; 19.数系的扩充与复数的引入; 20.框图. 理工类高考数学科考试内容的确定:根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》(教基[2003]6号)和《普通高中数学课程标准(实验)》(2003年4月第1版,人民教育出版社出版)的必修课程,选修课程系列1和系列4的内容. 其中必修课程是: 数学1,2,3,4,5. 包括: 1.集合; 2.函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数) ; 3.立体几何初步; 4.平面解析几何初步; 5.算法初步 ; 6.统计; 7.概率; 8.基本初等函数II(三角函数); 9.平面向量; 10.三角恒等变换; 11.解三角形; 12.数列; 13.不等式. 选修课程系列2的内容分三个模块: 2-1,2-2和2-3.其中 模块2-1的内容包括: 1.常用逻辑用语; 2.圆锥曲线与方程; 3.空间中的向量与立体几何. 模块2-2的内容包括: 2.导数及其应用; 3.推理与证明; 4.数系的扩充与复数的引入. 模块2-3的内容包括: 1.计数原理; 2.概率; 3.统计案例 . 必考课程的内容包括21项: 1.集合; 2.函数概念与基本初等函数I; 3.立体几何初步 ; 4.平面解析几何初步; 5.算法初步; 6.统计; 7.概率; 8.基本初等函数II; 9.平面向量; 10.三角恒等变换; 11.解三角形; 12.数列; 13.不等式; 14.常用逻辑用语; 15.圆锥曲线与方程; 16.空间向量与立体几何; 17.导数及其应用; 18.推理与证明; 19.数系的扩充与复数的引入; 20.计数原理; 21.概率与统计 . 选修课程系列4的内容中做为选考内容的是: 1.几何证明选讲; 2.矩阵与变换; 3.坐标系与参数方程; 4.不等式选讲. 三、考试原则 数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养. 数学科考试,要发挥数学作为主要基础学科的作用,要考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度,要考查对数学思想方法和数学本质的理解水平,要考查进入高等学校继续学习的潜能. 四、考核目标与要求 1. 知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列(文1,理2)和系列4的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算,处理数据,绘制图表等基本技能. 各部分知识整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(会)在有关的问题中识别和认识它. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明,用数学语言表达,利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论,有利用所学知识解决简单问题的能力. (3)掌握:要求对所列的知识内容能够推导证明,利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 2. 能力要求 能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. (1)空间想像能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想像出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分析、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想像能力,识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助线或对图形进行各种变换,对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想像能力高层次的标志. (2)抽象概括能力:抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程,抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论. 抽象概括能力就是从具体的、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断. (3)推理论证能力:推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成,论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程,推理既包括演绎推理,也包括合情推理,论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法,一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明. 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性初步的推理能力. (4)运用求解能力:会根据法则、公式进行正确运算,变形和数据处理,能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合,运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等,运算能力包括分析运算条件,探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. (5)数据处理能力:会收集数据、整理数据、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断. 数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题. (6)应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并能所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题并加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.主要过程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决. 实际问题数学化?数学问题符号化?建模、析模、解模?回归实际. (7)创新意识:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强. 3.个性品质要求 个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观,具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文阶段,崇尚数学的理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义. 要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神. 4.考查要求 数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和横向联系,要善于从本质上抓住这些联系,进而通过分类、梳理、综合,构建数学试卷的结构框架. (1)对数学基础知识的考查,既要全面又要突出重点,对于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体,注重学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面,从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络交汇点设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度. (2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,通过数学知识的考查,反映考生对数学思想方法的掌握程度. (3)对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力,从而检测出考生个体理性思维的广度和深度,以及进一步学生的潜能. 对能力的考查要全面考查能力,强调综合性、应用性,并要切合学生实际.对推理论证能力和抽象概括的考查贯穿于全卷,是考查的重点,强调其科学性、严谨性、抽象性.对空间想象能力的考查,主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化,对运算求解能力的考查主要是算法和推理的考查,考查以代数运算为主,数据处理能力的考查主要是运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力. (4)对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式,命题时要坚持“贴近生活,背景公平,控制难度”的原则,试题设计要切合中学数学的实际,考虑学生的年龄特点和实践经验,使数学应用问题的难度符合考生的水平. (5)对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查,在考试中创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,要注重问题的多样化,体现思维的发散性,精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;研究型、探索型、开放性的试题. 数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求. 五、考试范围 文史类包括必考内容和选考内容两部分,必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容. 理工类包括必考内容和选考内容两部分,必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列2的内容,选考内容为选修系列4的四个专题. 1.几何证明选讲; 2.矩阵与变换; 3.坐标系与参数方程; 4.不等式选讲. (一)必考内容与要求 1.集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ②能用自然、图形、集合语言描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义,能区别给定集合的子集. ②在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③能使用韦恩 (Venn)图表达集合的关系及运算. 2.函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数 ①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. ③能写出简单情境中的分段函数,并能求出给定自变量所对应的函数值,会画函数的图象 . 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景. ②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③理解指数函数的概念,并理解指数函数的单调性与 理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的性 质,会画指数函数的图象. 函数图像通过的特殊点. ④知道指数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. (4)幂函数 ①了解幂函数的概念. ②结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y= 的图象,了解它们的变化情况. (5)函数与方程 ①结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图像,了解能够用二分法求相应方程的近似解的过程,能借助计算器求形如 x3+ax+b=0,ax+bx+c=0,lgx+bx+c=0 的方程的近似解。 教学要求低于考纲要求 有条件的学校可以在课本思考的基础上,增加一些学生的操作、探索活动,让学生体会、感受数形结合的思想,体会量变与质变的关系. 如:方程logax=ax解的个数 (6)函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义,并能进行简单应用。 1.“实例”指:实际生活的例子、已经学过的整数集、一元一次不等式的解集等方面的例子。 2.“简单集合”指:教科书中出现的同类型的集合. 3.“给定集合”指:全集、子集的元素均为整数或字母(由列举法给出);或全集为实数集,子集为一元一次不等式的解集(由描述法给出). 4.求简单函数的定义域中,“简单函数”指下列函数: y=ax+b,y=ax2+bx+c,y= ,y= ,y=ax, y=loga(mx+n),y=sinx,y=cosx. 5.求简单函数的值域中,简单函数指下列函数: y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=ax,y=sinx,y=cosx. 6.简单(情境)的分段函数指:在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函数的分段函数.例如:出租车收费、邮资、个人所得税等问题. 7.对一般函数的奇偶性,不要做深入讨论 . 8.二分法限于用计算器求三类方程:x3+ax+b=0,ax+bx+c=0,lgx+bx+c=0的近似解。 3.立体几何初步 (1)空间几何体 (1)空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式 了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图),了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系. (2)点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆四条公理. ◆等角定理. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定,理解四条判定定理;理解四条性质定理,并能够证明. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. ①能用图形语言和符号语言表述这些定理; ②3条推论; ③了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念;了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念(上述角与距离的计算不作要求). 要注意以常见的空间几何体为载体,进行识图与画图的训练,使学生了解三视图与直观图的画法,初步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能.这里,常见的空间几何体指:长方体、三棱锥、四棱台、圆柱、球等. 教学中不要提高要求.教材中的例题、习题中的结论(包括三垂线定理)等不作为推理的依据. 对于这些角与距离的度量问题,只要在长方体模型中进行说明即可,具体计算不作要求 . 教材中的公理、推论和定理,都是用自然语言叙述的,教学中,要帮助学生学会用图形语言和符号语言来描述. 4.平面解析几何初步 (1)直线与方程 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,了解确定直线位置的几何要素. ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 了解直线的倾斜角的范围;理解直线的斜率和倾斜角之间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) ,了解斜截式与一次函数的关系. ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离. 掌握直线方程的四种形式以及特点与适用范围;能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;直线方程的教学,要使学生认识到各种形式都有其适用条件与局限性,必须学会根据具体条件灵活地加以选择 让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想,不要复杂化,要防止追求变形的技巧和加大运算量来增加问题的难度. 要注意体现数学的应用价值.使学生了解到利用平面解析几何的知识和方法能解决日常生活与生产实际中的一些具体问题.例如,市场经济中的平衡价格,桥梁、隧道设计中的计算,光线的入射和反射等. 5.算法初步 (1)算法的含义、程序框图 ①了解算法的含义,了解算法的思想. 能用自然语言描述算法;了解算法和程序语言的区别 ②理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环.会用流程图表示算法 (2)基本算法语句 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 能用自然语言、流程图和伪代码表述算法,会用“While循环”和“For循环”语句或Go To语句实施循环. 6.统计 (1)随机抽样 ①理解随机抽样的必要性和重要性. ②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本; 了解分层抽样和系统抽样方法. 会用分层抽样方法、系统抽样方法从总体中抽取样本. 了解各种抽样方法的适用范围,能区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,会选择适当的方法进行抽样. 了解可以通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据. (2)总体估计 ①了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. ②理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. ③能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. ④会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题 初步体会样本频率分布和数字特征的随机性;了解样本信息与总体信息存在一定的差异;理解随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,能解决一些简单的实际问题;了解统计思维与确定性思维的差异;会对数据处理过程进行初步评价. (3)变量的相关性 ①会作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. ②了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(不要求记忆系数公式) 7.概率 (1)事件与概率 ①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. ②了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式. ②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 由于没有计数原理支撑,等可能事件概率的计算要避免用排列组合的知识与方法,计数的方法应局限于枚举法.不要把重点放在“如何计数”上. 鼓励学生动手试验,理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,尝试澄清生活中的一些错误认识(如“中奖率为 的彩票,买1000张一定中奖” ). 8.基本初等函数II(三角函数) (1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念. ②了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 ③理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等).理解正切 ④理解同角三角函数的基本关系式: sin2x+cos2x=1, =tanx. ⑤了解函数y=Asin(ωx+j)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+j)(A>0,ω>0,- <j < )的图像,了解参数A,ω,j对函数图像变化的影响. 9.平面向量 (1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景. ②理解平面向量的概念及向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算 ①掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积 ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (5)向量的应用 ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 10.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、平角公式,但对这三组公式不要求记忆). 11.解三角形 (1) 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2) 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 12.数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). ②了解数列的自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 13.不等式 (1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ≥ (a,b≥0). ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 14.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ①了解命题及其逆命题,否命题与逆否命题. ②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系. (2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. (3)全称量词与存在量词 ①理解全称量词与存在量词的意义. ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 15.数系的扩充与复数的引入 (1)复数的概念 ①理解复数的基本概念. ②理解复数相等的充要条件. ③了解复数的代数表示法及其几何意义. (2)复数的四则运算 ①会进行复数代数形式的四则运算. ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 16.圆锥曲线与方程 (1)圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. ④理解数形结合的思想. ⑤了解圆锥曲线的简单应用. (1)圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤理解数形结合的思想. (2)曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 17.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义. (2)导数的运算 ①能根据导数定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y= ,y= 的导数. ②能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. (3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次. ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值,对多项式函数一般不超过三次;会求闭区间上函数的最大值、最小值,对多项式函数一般不超过三次. (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. (5)定积分与微积分基本定理 ①了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. ②了解微积分基本定理的含义. 18.统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用. (2)假设检验 了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用. (3)聚类分析 了解聚类分析的基本思想、方法及其简单应用. (4)回归分析 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. (1)概率 ① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. ② 理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 19.推理与证明 (1)合情推理与演绎推理. ①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. ②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. ③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. (2)直接证明与间接证明. ①了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. ②了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 20.框图 (1)流程图 ①了解程序框图 ②了解工序流程图(即统筹图) ③能绘制简单实际问题的流程图,了解流程图在解决实际问题中的作用. (2)结构图 ①了解结构图. ②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息. 20.计数原理 (1)分类法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理; ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. (2)排列与组合 ①理解排列、组合的概念. ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题. (3)二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理. ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 21. 空间向量与立体几何 (1)空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (2)空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量. ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). ④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用. (二)选考内容与要求 1.几何证明选讲 (1)了解平行线截割定理,会证直角三角形射影定理. (2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. (3)会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理. (4)了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆). (5)了解下面定理:在空间中,取直线l为轴,直线l'与l相交于O点,其夹角为α,l'围绕l旋转得到以O为顶点,l'为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴l交角为β(π与l平行,记β=0),且平面π与圆锥的交线为L,则: (i)β>α, L为椭圆; (ii)β=α, L为抛物线; (iii)β<α, L为双曲线. (6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面的下方,并且与平面π及圆锥均相切)证明上述定理(i)的情况. 2.坐标系与参数方程 (2)参数方程 ①了解参数方程,了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. ③了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. ④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 3.不等式选讲 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ②∣a-b∣≤∣a-c∣+∣c-b∣; ③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ∣ax+b∣≤c; ∣ax+b∣≥c; ∣x-c∣+∣x-b∣≥a. 4.矩阵与变换 (1) 二阶矩阵与平面向量 了解矩阵的有关概念;掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法. (2) 几种常见的平面变换 理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线,即A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ. 理解几种常见的平面变换:恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换;了解单位矩阵. (3) 矩阵的复合与矩阵的乘法 掌握二阶矩阵的乘法;理解矩阵乘法的简单性质(不满足交换律、满足结合律、不满足消去律). (4) 逆变换与逆矩阵 理解逆矩阵的意义;掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1 等简单性质,并了解其在变换中的意义. 会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 了解二阶行列式的定义;会用二阶行列式求逆矩阵. 了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义. 会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组. 理解二元线性方程组解的存在性、唯一性. (5) 特征值与特征向量 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形). 会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题. 了解三阶或高阶矩阵. 了解矩阵的简单应用. 矩阵的简单应用,主要把握以下两方面情况: (1)运用的矩阵为:m×1矩阵或1×n矩阵(m,n≤4)或n×n方阵(n=2,3). (2)问题类型为:简单的网络图中的一级路、二级路矩阵问题;简单的二阶逆矩阵应用问题;简单的特征向量应用问题.
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